贝赛尔曲线

原理

贝塞尔曲线由起点、终点(也称锚点)和若干个控制点决定

以二阶为例

已知不共线3点A、B、C，依次连接线段AB、BC，分别取AB、BC中D、E，使得AD:AB = BE:BC，连接DE，取DE上F，使得DF:DE = AD:AB = BE:BC。利用极限知识，让D点从A移动到B，找到所有的F点，这些点形成的曲线便是贝塞尔曲线。

一条曲线可在任意点切割成两条或任意多条子曲线，每一条子曲线仍是贝塞尔曲线

n阶贝塞尔曲线可以看成二阶贝塞尔曲线组成

PS中的钢笔通过锚点来绘制曲线

公式

引入参数t，t满足区间[0, 1]，t的取值代表比例，DF:DE = AD:AB = BE:BC = t。

$P_0B_t ： P_0P_1 = t$

一阶贝塞尔曲线

$(B_t - P_0) / (P_1 - P_0) = t$

根据以上公式可得

$B_t = P_0 + (P_1 - P_0)t = (1 - t)P_0 + tP_1 (1)$

二阶贝塞尔曲线

$B_a = P_0 + (P_1 - P_0)t = (1 - t)P_0 + tP_1 (2)$

$B_b = P_1 + (P_2 - P_1)t = (1 - t)P_1 + tP_2 (3)$

$B_t = P_a + (P_b - P_a)t = (1 - t)P_a + tP_b (4)$

将公式(2)(3)代入公式(4)中，可得

$P_t = (1-t)P_a + tP_b = (1-t)[(1-t)P_0 + tP_1] + t[(1-t)P_1 + tP_2] = (1-t)^2P_0 + 2(1-t)tP_1 + t^2P_2 (5)$

三阶贝塞尔曲线

同理，根据以上的推导过程可得

$P_a = P_0 + (P_1 - P_0)t = (1 - t)P_0 + tP_1$

$P_b = P_1 + (P_2 - P_1)t = (1 - t)P_1 + tP_2$

$P_c = P_2 + (P_3 - P_2)t = (1 - t)P_2 + tP_3$

$P_d = P_a + (P_b - P_a)t = (1 - t)P_a + tP_b$

$P_e = P_b + (P_c - P_b)t = (1 - t)P_b + tP_c$

由此可以推导

$P_t = P_d + (P_e - P_d)t = (1 - t)P_d + tP_e = (1-t)[(1 - t)P_a + tP_b] + t[(1 - t)P_b + tP_c] = (1-t)^2P_a + 2(1-t)tP_b + t^2P_c = (1-t)^2[(1 - t)P_0 + tP_1] + 2(1-t)t[(1 - t)P_1 + tP_2] + t^2[(1 - t)P_2 + tP_3] = (1 - t)^3P_0 + (1 - t)^2tP_1 + 2t(1 - t)^2P_1 + 2t^2(1-t)P_2 + t^2(1-t)P_2 + t^3P_3 = (1-t)^3P_0 + 3t(1-t)^2tP_1 + 2t^2(1-t)P_2 + t^3P_3$